TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

	CONTENU : Mis à jour avril 2011, revu sept 2011 I Définitions de base Triangle sphérique Angles remarquables II Relations trigonométriques Relation générale Relation des sinus Résumé de l'ensemble des relations trigonométriques III Triangle rectangle IV Excès sphérique et surface du triangle

Ce chapitre est traite de compléments de trigonométrie sphérique qu'on ne peut pas ne pas connaître, tant l'usage en est répandu en astronautique et astronomie.

I DEFINITIONS DE BASE:

1°) TRIANGLE SPHERIQUE :

Considérons une sphère de centre O et de rayon unité, et sur sa surface 3 points A, B, C non tous trois situés sur un même grand cercle de la sphère. Ces 3 points constituent les sommets d'un TRIANGLE SPHERIQUE, dont les cotés sont les arcs des 3 grands cercles de la sphère, qui passent respectivement par AB, AC, BC.

2°) ANGLES :

On peut alors définir des angles.

· Angles au sommet A, B, C : Par exemple  ou A : on désigne ainsi, l'angle inférieur à 180°, arithmétique formé par les tangentes Au et Av aux deux grands cercles passant par A. De même pour les autres sommets.

· Angles au centre a, b, c : Par exemple â ou a est l'angle arithmétique inférieur à 180°, en O entre les directions OB et OC. Souvent on dit qu'on "voit" le côté BC sous l'angle au centre â.

NB : si un des angles au sommet est égal à 90°, on dit que le triangle est rectangle.

REMARQUE : La somme des angles au sommet n'est pas comme pour un triangle plan, égale à 180°, mais supérieure à 180°. Voir plus loin la notion d'excès sphérique

II RELATIONS TRIGONOMETRIQUES :

Nous allons établir les relations les plus générales dans un triangle sphérique quelconque.

1°) RELATION GENERALE :

Les vecteurs OB et OC sont décomposés sur u et w (resp v et w ), ce qui donne moyennant cosa = u.v :

ce qui donne

2°) RELATION DES SINUS :

Il est clair que les sinus de tous les angles sont positifs, ainsi on peut écrire :

La dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables a, b, c. Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée RELATION DES SINUS :

3°) RELATIONS GENERALES :

AUTRES RELATIONS PAR PERMUTATION :

La manipulation trigonométrique permettrait aussi d'établir ( ce que nous ne faisons pas ) :

4°) EXEMPLE : Distance entre 2 points de la terre:

Soient 2 lieux donnés par leur coordonnées géographiques, longitude et latitude, B=( Lo, lo ), C=( L1, l1 ). Le rayon terrestre étant noté R_T, le lecteur établira , en utilisant un triangle constitué de B, C, et du pôle nord A, que la plus courte distance entre B et C, mesurée sur un grand cercle (distance orthodromique ou géodésique) est :

Route loxodromique

Emprunt au site

http://perso.univ-lemans.fr/~hainry/articles/loxonavi.html

que je conseille de visiter

Gilles Hainry
Université du Maine
Institut Universitaire de Technologie
Département Techniques de Commercialisation
52 rue Calmette et Guerin
53000 LAVAL (France)

…… On a certes du mal à imaginer que la ligne droite tracée sur une carte de Mercator ne représente pas la route optimale pour relier deux points lui appartenant ; nous avons vu plus haut que la route orthodromique de Dunedin à Iquique, qui, rappelons le, est la plus courte, n'est pas le segment joignant les deux ports sur cette carte.

La route qui relie deux points de la Terre en suivant le segment qui les joint sur une carte de Mercator est dite loxodromique ; il faudra se rappeler que, si cette route peut se mesurer, cette mesure n'est pas une distance (au sens mathématique du terme) et que cette route n'est pas le plus court chemin pour relier ces deux points.

Cependant, une route loxodromique est simple à tracer sur une carte (à la règle) et l'on peut très facilement trouver les latitudes et longitudes des points qui se trouvent sur cette route.

Une telle route présente l'avantage de couper chaque méridien selon un angle constant ; cela permet par exemple au navigateur de conserver le même cap durant tout le trajet pour la suivre, ce qui -on l'a vu- n'est pas le cas sur une route orthodromique.

Il y a en fait deux sortes de routes loxodromiques :
- celles qui joignent deux points situés à la même latitude ; elles sont portées par les parallèles et constituent donc sur la Terre des arcs de cercle.
- celles qui joignent deux points A et B de latitudes différentes ; elles constituent des arcs de courbes joignant les pôles puisque les bords supérieur et inférieur d'une carte de Mercator (1) représentent respectivement le pôle Nord et le pôle Sud ; ces courbes sont des demi-cercles (2) dans le cas particulier où les deux points ont même longitude et seulement dans ce cas.
Remarques : (1) il faut ici imaginer plusieurs cartes de Mercator côte à côte, car la " loxodromie " s'enroulera en spirale plusieurs fois autour de la Terre avant de rejoindre les pôles si la pente de la droite (AB) est faible.
(2) dans ce cas, le demi-cercle en question est naturellement un méridien.


Il est encore plus troublant que la route la plus courte ne soit pas celle consistant à suivre le parallèle (du bon côté) lorsque les points ont la même latitude ; nous avons pourtant fait les calculs et apporté la preuve de ce résultat dans le cas de deux points symétriques par rapport à l'axe des pôles et situés sur le cercle polaire arctique.…..

III CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A

Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée pour des repérages terrestres, avec souvent 2 cercles très particuliers et orthogonaux : l'équateur terrestre et une méridien ou un parallèle quelconque et un méridien, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous.

Exemple, pour les points survolés :

Le triangle sphérique à considérer est S''NS'~ ABC rectangle en A. B = S'NS'' = i, NOS' = a = q+w, S''Os' = l_S = b. La relation des sinus donne immédiatement le résultat cherché, à savoir :

Formule importante déjà rencontrée.

IV EXCES SPHERIQUE ET SURFACE DU DU TRIANGLE SPHERIQUE

L'excédent ( ou encore excès sphérique) est le nombre :

E = ^A+ ^B+^C - 180°

avec les angles au sommet exprimés en degrés.

On peut démontrer ( ce qui constitue le théorème de Girard ) que l'aire du triangle sphérique ABC , sur une sphère de rayon R, est S :

S = (^A + ^B + ^C - p)R² = E R².

Avec naturellement les angles exprimés en radian. Vous pourrez ainsi retrouver l'aire de la sphère de rayon R (4pR² )

Autres sites traitant de la trigonométrie sphérique :

http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Girard.html

http://astro.u-strasbg.fr/~fresneau/exerc/exo1/exo1.html ( exercices d'astronomie)

http://astroti.free.fr/astroti/calc/astrosph.html

Guiziou Robert avril 2011, sept 2011